ロコリンの雑記

アニメ大好きニートのロコリンのブログ。2015年卒(修士)の社会人。学生時代(2010年)から続けてるブログなのでエントリによっては学生ブログと社会人ブログになっています。時系列から察して。
 
 
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ロコリン

Author:ロコリン
2018年5月だけニート(6月から会社員)。2015年3月まで大学院生でした。
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今(2015年2月更新):プリキュア/プリパラ/アイカツ/ごちうさ/艦これ

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自作問題1: 扇形 

ケーキ作りの手伝いでボウルを見ていたら幾何学についての自作問題を思いつきました。LaTeX で書いた PDF ファイルをうpしました。

blog_20120328_0.pdf
PDF ファイル
blog_20120328_0.7z
LaTeX ソースファイル (7z アーカイブ)

なお、弧の記号を出す LaTeX コマンドは『弧ABを記号で表すTeXコマンド』 (よしいずの雑記帳さん) からお借りしました。

1 問題

半径 \(r\) の円がある。この円の中心 \(O\) から半直線が 2 本伸びている。それぞれの半直線と円の交点をそれぞれ \(A\), \(B\) とする。鋭角 \(\angle AOB\) を \(\theta\) とする (\(0 < \theta < \pi\))。点 \(O\) から線分 \(\overline{AB}\) に垂線を引き、線分 \(\overline{AB}\) と垂線との交点を \(C\), 弧 \(\stackrel{\Large\mbox{$\frown$}}{AB}\) と垂線との交点を \(D\) とする。 (図1)

扇形
図1 扇形
  1. 半径 \(r\) の円の面積 \(S\) を求めよ。
  2. 半径 \(r\), 中心角 \(\theta\) の扇形の面積 \(S'=S_{1}+S_{2}\) を求めよ。
  3. 三角形 \(AOB\) の面積 \(S_{1}\) を求めよ。
  4. 扇形から三角形 \(AOB\) を除いた面積 \(S_{2}\) を求めよ。
  5. 線分 \(\overline{OC}\) の長さ \(h\) を求めよ。
  6. 線分 \(\overline{CD}\) の長さ \(d\) を求めよ。
  7. 弦 \(\overline{AB}\) の長さ \(c\) を求めよ。
  8. 前問の \(d\), \(c\) を用いて \(r\), \(\theta\) を表せ。

2 解答

  1. \[S = \pi r^{2}\]
  2. 扇形の面積 \(S'\) は中心角 \(\theta\) に比例する。円は扇形の中心角が \(2\pi\) の場合である。\(\theta:S'=2\pi:S\) より
    \[S'=\frac{\theta}{2\pi}S=\frac{\theta}{2\pi}\pi r^{2}=\frac{r^{2}\theta}{2}\]
  3. 線分 \(\overline{AO}\) を底辺、点 \(B\) から直線 \(AO\) に引いた垂線の交点を \(B'\) とする。高さ \(b=\overline{BB'}\) は、斜辺 \(\overline{OB}\) の長さ \(r\), 角度 \(\theta\) より
    \[b=r\sin\theta\]
    底辺の長さ \(r\), 高さ \(b\) の三角形の面積 \(S_{1}\) は
    \[S_{1}=\frac{rb}{2}=\frac{r^{2}\sin\theta}{2}\]
  4. \[S_{2}=S'-S_{1}=\frac{r^{2}\left(\theta-\sin\theta\right)}{2}\]
  5. \(\angle OAB = (\pi-\theta)/2\) より
    \[h=r\sin\frac{\pi-\theta}{2}=r\cos\frac{\theta}{2}\]
  6. \[d=r-h=r\left(1-\cos\frac{\theta}{2}\right)\]
  7. 線分 \(\overline{AC}\) の長さを求める。\(\angle OAB = (\pi-\theta)/2\) より
    \[\overline{AC}=r\cos\frac{\pi-\theta}{2}=r\sin\frac{\theta}{2}\]
    \(\overline{AC}=\overline{BC}\) より
    \[c=\overline{AB}=\overline{AC}+\overline{BC}=2\overline{AC}=2r\sin\frac{\theta}{2}\]
  8. 問 6 と問 7 の式を変形して
    \[\begin{aligned} \cos\frac{\theta}{2}&=1-\frac{d}{r}\\ \sin\frac{\theta}{2}&=\frac{c}{2r} \end{aligned}\]
    \(\cos^{2}(\theta/2)+\sin^{2}(\theta/2)=1\) より
    \[\begin{aligned} \left(1-\frac{d}{r}\right)^{2}+\left(\frac{c}{2r}\right)^{2}&=1\\ 4r^{2}-8rd+4d^{2}+c^{2}&=4r^{2}\\ 8rd&=4d^{2}+c^{2} \end{aligned}\]
    \[∴r=\frac{c^{2}+4d^{2}}{8d}\]
    問 7 の式に代入して
    \[\theta=2\sin^{-1}\frac{c}{2r}=2\sin^{-1}\frac{4cd}{c^{2}+4d^{2}}\]
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