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ロコリンの雑記

アニメ大好き社会人のロコリンのブログ。2015年卒(修士)の社会人。学生時代(2010年)から続けてるブログなのでエントリによっては学生ブログと社会人ブログになっています。時系列から察して。
 
 
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ロコリン

Author:ロコリン
2018年6月から会社員。2015年3月まで大学院生でした。
趣味:アニメ/Twitter/ゲーム/ニコ動
今(2015年2月更新):プリキュア/プリパラ/アイカツ/ごちうさ/艦これ

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代数学の初歩を独学: 群、環、体 

私が通っていた高専や、今通っている大学では、微分積分を基礎とした解析学を中心に数学を習います。しかしながら、それ以外の数学、例えば集合論、代数学、論理学、幾何学のような数学についてはほとんど触れません。そこで、私は習っていない数学を独学したいと考えています。

この記事では、代数学の初歩となる代数的構造として、代数系、群、環、体を定義します。

1 代数系

代数系は、集合 \(S\) と二項演算 \(\circ\) の組 \((S,\circ)\) で、次の公理を満たすものです。

  1. \(S\) の任意の元 \(a\), \(b\) について、\(a\circ b\in S\) となる。

これを「演算 \(\circ\) は閉じている」といいます。二項演算 \(\circ\) は写像で、\(\circ:S\times S\to S\) と表されます。


1.1 群

(ぐん、group) は、集合 \(G\) と二項演算 \(\circ:G\times G\to G\) からなる組 \((G,\circ)\) で、次の公理を満たすものです。

  1. 結合法則: \(G\) の任意の元 \(a\), \(b\), \(c\) について、\((a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c)\) が成立する。
  2. 単位元の存在: \(G\) の任意の元 \(a\) について、\(a\circ e=e\circ a=a\) となる元 \(e\) が存在する。この元 \(e\) を単位元という。
  3. 逆元の存在: \(G\) の任意の元 \(a\) について、\(a\circ x=x\circ a=e\) となる元 \(x\) が存在する。この元 \(x\) を \(a\) の逆元という。

さらに、次の公理を満たす群を可換群、またはアーベル群といいます。

  1. 交換法則: \(G\) の任意の元 \(a\), \(b\) について、\(a\circ b=b\circ a\) が成立する。

一方、公理 1 (結合法則) だけを満たす代数系を半群といいます。

公理 1 (結合法則) と公理 2 (単位元の存在) だけを満たす代数系をモノイドといいます。

代数的構造がたくさん出てきてごちゃごちゃしたので、表にまとめます。行は代数的構造で、列は公理です。○がついたセルは、その代数系がその公理を満たすことを表します。

結合法則 単位元の存在 逆元の存在 交換法則
半群
モノイド
可換群

乗法 \(\cdot\) についての群 \((G,\cdot)\) を乗法群といいます。乗法群の単位元を \(e=1\) と表します。乗法群を含む多くの群では \(a\) の逆元は \(x=a^{-1}\) で表されます。

加法 \(+\) についての群 \((G,+)\) を加法群といいます。加法群の単位元を \(e=0\) と表し、特に零元と言います。特に、加法群では \(a\) の逆元は \(x=-a\) で表され、負元と呼ばれます。

1.2 環

(かん、ring) は、集合 \(R\) と加法 \(+\) と乗法 \(\cdot\) からなる組 \((R,+,\cdot)\) で、次の公理を満たすものです。

  1. \((R,+)\) は可換群である。
  2. \((R,\cdot)\) はモノイドである。
  3. 分配法則: \(R\) の任意の元 \(a\), \(b\), \(c\) について、\((a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)\) が成立し、かつ \(a\cdot(b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)\) が成立する。

さらに、乗法 \(\cdot\) について交換法則を満たす環を可換環といいます。

1.3 体

(たい、field) は、集合 \(F\) と加法 \(+\) と乗法 \(\cdot\) からなる組 \((F,+,\cdot)\) で、次の公理を満たすものです。

  1. \((F,+,\cdot)\) は環である。
  2. 任意の \(a\in F\setminus\{0\}\) について、乗法逆元 \(a^{-1}\) が存在する。

さらに、乗法 \(\cdot\) について交換法則を満たす体を可換体といいます。

環と体について表にまとめます。行は代数的構造で、列は公理です。○がついたセルは、その代数系がその公理を満たすことを表します。

加法可換群 乗法モノイド 分配法則 非零乗法逆元の存在 乗法交換法則
可換環
可換体

参考文献

  1. 代数学 - [物理のかぎしっぽ]
  2. 川内教員室 - 東京工業大学 大学院理工学研究科 数学専攻
  3. 代数学(群、環、体、テンソル)インデックス
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