ロコリンの雑記

アニメ大好きニートのロコリンのブログ。2015年卒(修士)の社会人。学生時代(2010年)から続けてるブログなのでエントリによっては学生ブログと社会人ブログになっています。時系列から察して。
 
 
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Author:ロコリン
2018年5月だけニート(6月から会社員)。2015年3月まで大学院生でした。
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常微分方程式 1 

久々の数学記事です。学生が適当に書いているので参考文献としての使用は不適です。なぜかというと検閲や審査を受けていないからです。間違いや提案などがあればコメントや Twitter やメールフォームなどでお知らせしていただけると幸いです。

1 微分方程式って?

微分方程式とは、未知関数の導関数を含んだ方程式です。特に、未知関数が 1 変数関数であるものを常微分方程式といいます。未知関数が多変数関数であるものを偏微分方程式といいます。

ところで、方程式と恒等式の違いはわかりますか? 方程式はある条件下でのみ成立する等式です。一方、恒等式は常に成り立つ等式です。恒等式は方程式に含まれます。

微分方程式は自然現象や工学上の多くの法則や問題を記述しています。そのため、これを解くことは科学者や技術者にとっても有益であるといえます。

ところが、この微分方程式というのはそう簡単に解けるとは限りません。解けないか解くのが困難な微分方程式がほとんどです。そんな微分方程式の中でも、特殊な形をしているものは解法があります。そういうのを少しずつまとめていけたらいいなぁと思います。


1.1 常微分方程式の概要

1.1.1 常微分方程式の性質・用語

\(n\) 階微分方程式とは、微分方程式に含まれる導関数の最高の微分階数が \(n\) であるものをいいます。例えば、次の微分方程式は 2 階微分方程式です。

\[\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-2\frac{dy}{dx}+y=0\]

「微分方程式を解く」とは、微分方程式から導関数を含まない代数方程式にすることです。ただし、一般に \(n\) 階常微分方程式は自由度 \(n\) の解空間を持ちます。つまり、 \(n\) 階常微分方程式のすべての解を表すには \(n\) 個の任意定数を含める必要があります。このような解を一般解といいます。例えば、上の微分方程式の一般解は次のようになります。

\[y=(c_{1}x+c_{2})e^{x}\quad(c_{1}, c_{2}:任意定数)\]

微分方程式の解の 1 つ (一般解の解空間の要素) を特殊解といいます。例えば、上の微分方程式の特殊解として次のようなものが挙げられます。

\[y=e^{x}\]
この特殊解は、上の一般解の任意定数を \(c_{1}=0\), \(c_{2}=1\) としたものです。もちろん特殊解はこれだけではありません。

常微分方程式の解の中で、一般解では表せない解を特異解といいます。上の微分方程式にはたぶん特異解はないんじゃないかなぁと思います。あったら教えてください。

2 1 階微分方程式

さて、いよいよ微分方程式の解法をまとめていきたいと思います。ここでは 1 階微分方程式のうち解法が明らかなものを紹介します。次のような微分方程式は求積法に帰着します。求積法とは積分することです。

  • 変数分離形
  • 同次形
  • 線形
  • 完全微分形

2.1 変数分離形

変数分離形とは、次のような微分方程式のことです。

\[\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\]
とりあえず、 \(g(y)\) を左辺に移項しましょう。
\[\frac{1}{g(y)}\frac{dy}{dx}=f(x)\]
両辺を \(x\) で積分すると、次のようになります。
\[\int\frac{1}{g(y)}\frac{dy}{dx}dx=\int f(x)dx\]
左辺は置換積分の形になっているため、次のように単純な積分になります。
\[\int\frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx\]

例題

次の微分方程式を解いてください。

\[\frac{dy}{dx}=2xy\]
[解] 変数分離して、
\[\frac{1}{y}dy=2xdx\]
両辺を積分すると、
\[\int\frac{1}{y}dy=\int2xdx\]
\[\log y=x^{2}+c'\quad(c':任意定数)\]
\[y=e^{x^{2}+c'}=e^{c'}e^{x^{2}}\]
\(e^{c'}=c\) とおくと、
\[y=ce^{x^{2}}\quad(c:任意定数)\]

2.2 同次形

同次形とは、次のような微分方程式のことです。

\[\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{y}{x}\right)\]
\(\displaystyle\frac{y}{x}:=u\) とおくと、 \(y=xu\) です。これを \(x\) で微分すると、積の微分より \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=x\frac{du}{dx}+u\) となることがわかります。よって、上の微分方程式は次のように書き換えられます。
\[x\frac{du}{dx}+u=f(u)\]
移項して整理すると次のようになります。
\[\frac{1}{f(u)-u}\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}\]
どう見ても変数分離形です。本当にありがとうございました。

例題

次の微分方程式を解いてください。

\[x^{2}\frac{dy}{dx}=y^{2}+xy\]
[解] 両辺を \(x^{2}\) で割ると、
\[\frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{y}{x}\]
\(\displaystyle\frac{y}{x}:=u\) とおくと、 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=x\frac{du}{dx}+u\) となるから、
\[x\frac{du}{dx}+u=u^{2}+u\]
移項して整理して、
\[\frac{1}{u^{2}}\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}\]
両辺を \(x\) で積分して、
\[\int\frac{1}{u^{2}}du=\int\frac{1}{x}dx\]
\[-\frac{1}{u}=\log x+c\]
\(\displaystyle u=\frac{y}{x}\) より
\[-\frac{x}{y}=\log x+c\]
よって一般解は次のようになります。
\[y=-\frac{x}{\log x+c}\quad(c:任意定数)\]
余談ですが、この微分方程式には特異解があります。\(y=0\) として微分方程式に代入してみると、等式が成立します。従って \(y=0\) も解です。しかしながら、一般解の任意定数 \(c\) をどのように変化させても特殊解として \(y=0\) は得られません。従って、\(y=0\) は特異解です。

2.3 1 階線形微分方程式

1 階線形微分方程式とは、次のような微分方程式のことです。

\[\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\]
両辺に \(e^{\int P(x)dx}\) をかけると次のようになります。
\[e^{\int P(x)dx}\frac{dy}{dx}+P(x)e^{\int P(x)dx}y=Q(x)e^{\int P(x)dx}\]
ところで、左辺は積の微分から \(\displaystyle e^{\int P(x)dx}\frac{dy}{dx}+P(x)e^{\int P(x)dx}y=\frac{d}{dx}\left(e^{\int P(x)dx}y\right)\) となることがわかります。従って、上の微分方程式は次のように書き換えられます。
\[\frac{d}{dx}\left(e^{\int P(x)dx}y\right)=Q(x)e^{\int P(x)dx}\]
両辺を \(x\) で積分すると次のようになります。
\[\int\frac{d}{dx}\left(e^{\int P(x)dx}y\right)dx=\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx\]
左辺は置換積分の形をしており、 \(\displaystyle\int\frac{d}{dx}\left(e^{\int P(x)dx}y\right)dx=\int d\left(e^{\int P(x)dx}y\right)\) となります。従って、上の方程式は次のようになります。
\[e^{\int P(x)dx}y=\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+c\]
両辺に \(e^{-\int P(x)dx}\) をかけると次のようになります。
\[y=e^{-\int P(x)dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+c\right)\quad(c:任意定数)\]

2.4 完全微分形

完全微分形とは、次のような微分方程式のことです。

\[\frac{\partial \phi(x,y)}{\partial x}dx+\frac{\partial \phi(x,y)}{\partial y}dy=0\]
左辺はどう見ても \(\phi(x,y)\) の全微分 \(d\phi(x,y)\) ですね。つまり、次のようになります。
\[d\phi(x,y)=0\]
両辺を積分すると次のようになります。
\[\phi(x,y)=c\quad(c:任意定数)\]
つまり、完全微分形の微分方程式を解くにはこの \(\phi(x,y)\) を見つける必要があります。

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