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ロコリンの雑記

アニメ大好き社会人のロコリンのブログ。2015年卒(修士)の社会人。学生時代(2010年)から続けてるブログなのでエントリによっては学生ブログと社会人ブログになっています。時系列から察して。
 
 
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ロコリン

Author:ロコリン
2018年6月から会社員。2015年3月まで大学院生でした。
趣味:アニメ/Twitter/ゲーム/ニコ動
今(2015年2月更新):プリキュア/プリパラ/アイカツ/ごちうさ/艦これ

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連立1次方程式の解 

今日 Aizu Online Judge (AOJ) というプログラミング修行サイトに登録しました。このサイトではプログラミングの問題が用意されています。ユーザは問題を好きなプログラミング言語で解いた後、ソースを提出します。提出したソースはサーバの方でコンパイルされ、目的の動作をするかどうか判定されます。
これの問題番号 0004 の「Simultaneous Equation」 (連立方程式) は連立 2 元 1 次方程式の解を求めるという問題で、私は式を導出しました。

今回は TEX で記事を書きました。こちらのファイルをご覧ください。
PDF ファイル linearequation_blog.pdf
このブログ記事は、 TEX で書いた記事のダイジェストです。詳しい内容は上記ファイルをご覧ください。


§1 連立1次方程式

連立 m 元 1 次方程式は n 変数 x1, x2, ..., xn についての次の m 本の方程式です。 (mn)
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
          :
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm

§1.1 連立2元1次方程式

2変数 x, y についての次の2本の連立1次方程式を考えます。
ax + by = c
dx + ey = f
一般に解は一意とは限りません。

§1.1.1 解が一意のとき

解が一意の場合のみを考えます。このとき、解は次のようになります。
x = ( ec - bf ) / ( ae - bd )
y = ( af - dc ) / ( ae - bd )

§1.2 クラメルの公式

n 変数 x1, x2, ..., xn についての次の連立 n 元1次方程式を考えます。
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
          :
an1x1 + an2x2 + … + annxn = bn
一般に解は一意とは限りません。解が一意のとき、 j 番目の解 xj は係数行列 A を用いて次式で求まります。

\[x_j=\frac{1}{|A|}\begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&a_{1,j-1}&b_1&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots&a_{2,j-1}&b_2&a_{2,j+1}&\cdots&a_{2,n}\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,j-1}&b_n&a_{n,j+1}&\cdots&a_{n,n}\end{vmatrix}\]
これをクラメルの公式といいます。

§1.3 掃き出し法

これをブログ内で書くのはしんどいので、興味があれば上記ファイルをご覧ください。

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