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ロコリンの雑記

アニメ大好き社会人のロコリンのブログ。2015年卒(修士)の社会人。学生時代(2010年)から続けてるブログなのでエントリによっては学生ブログと社会人ブログになっています。時系列から察して。
 
 
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ロコリン

Author:ロコリン
2018年6月から会社員。2015年3月まで大学院生でした。
趣味:アニメ/Twitter/ゲーム/ニコ動
今(2015年2月更新):プリキュア/プリパラ/アイカツ/ごちうさ/艦これ

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ラプラス変換・ラプラス逆変換 

記事『フーリエ解析 1』と同じく復習です。
適当に書くので調べ物目的で閲覧しないほうがいいです。
誰得といえば俺得。

数学は一生の宝物です。
時代が変わっても古くなることはありません。 (表現が変わることはあるかもしれないけど)
ということで、せっかくの春休み、数学の知識を整理したいです。
(とかいいつつ導出を省略し表面上のものだけを抜き出しますが。)


§1 ラプラス変換・ラプラス逆変換

§1.1 ラプラス変換

ラプラス変換とは、実数 \(t\) についての関数 \(f(t)\) に対する次の積分のことです。

\[F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt\]
これは複素数 \(s\) についての関数 \(F(s)\) となります。
まあ文字は何でもいいんですけど、習慣的にこれらの文字で表します。
(私の学校では \(s\) ではなく \(p\) で習いました。)

また、この演算を次の演算子 \(\mathscr{L}\) で表すこともあります。
\[F(s)=\mathscr{L}[f(t)]\]

よく使う関数のラプラス変換を表にまとめます。
一度は自分で計算して出すと良いと思います。
\(f(t)\) \(F(s)\)
\(a\) (定数) \(\displaystyle\frac{a}{s}\)
\(t^{n}\) (\(n\in\mathbb{N}\):自然数) \(\displaystyle\frac{n!}{s^{n+1}}\)
\(t^{a}\) (\(a\in\mathbb{C}\):複素数) \(\displaystyle\frac{\Gamma(a+1)}{s^{a+1}}\)
\(e^{at}\) (\(a\):定数) \(\displaystyle\frac{1}{s-a}\)
\(\cos\omega t\) (\(\omega\):定数) \(\displaystyle\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}\)
\(\sin\omega t\) (\(\omega\):定数) \(\displaystyle\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}\)
\(\cosh\omega t\) (\(\omega\):定数) \(\displaystyle\frac{s}{s^{2}-\omega^{2}}\)
\(\sinh\omega t\) (\(\omega\):定数) \(\displaystyle\frac{\omega}{s^{2}-\omega^{2}}\)

また、諸定理をまとめます。
定理名 定理
線形法則 \(\mathscr{L}[af(t)+bg(t)]=a\mathscr{L}[f(t)]+b\mathscr{L}[g(t)]\)
相似法則 \(\displaystyle\mathscr{L}[f(at)]=\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right)\)
移動法則 \(\mathscr{L}[e^{at}f(t)]=F(s-a)\)
微分法則 \(\displaystyle\mathscr{L}\left[\frac{d}{dt}f(t)\right]=sF(s)-f(0)\)
\(\displaystyle\mathscr{L}\left[\frac{d^n}{dt^n}f(t)\right]=s^nF(s)-\sum_{k=0}^{n-1}s^{n-1-k}f^{(k)}(0)\)
積分法則 \(\displaystyle\mathscr{L}\left[\int_0^tf(\tau)d\tau\right]=\frac{1}{s}F(s)\)

§1.2 ラプラス逆変換

ラプラス逆変換とは、 \(s\) についての関数 \(F(s)\) を \(t\) についての関数 \(f(t)\) に変換する演算 (複素積分) のことです。
\[f(t)=\mathscr{L}^{-1}[F(s)]=\frac{1}{2\pi i}\int_{\alpha-i\infty}^{\alpha+i\infty}F(s)e^{st}ds=\sum_{k=1}^n{\rm Res}\left[F(s)e^{st},a_k\right]\]
ここで、 \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\) は \(F(s)e^{st}\) の特異点です。積分路は複素平面上の特異点をすべて囲む単一閉曲線と考えることができます。つまり、全部の特異点の留数の総和を求めるということです。

▼[複素解析の復習]▼
複素関数 \(f(z)\) の特異点 \(z = a\) が \(k\) 位の極のときの留数は次のように求まります。
\[{\rm Res}[f(z),a]=\frac{1}{(k-1)!}\lim_{z\to a}\frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}}\left\{(z-a)^kf(z)\right\}\]
▲[複素解析の復習]▲

§1.3 応用例:微分方程式

ラプラス変換・逆変換の応用例として、線形微分方程式の初期値問題・境界値問題とかに使えます。
\(f(t)\) の \(t\) に関する微積分方程式をラプラス変換すると \(F(s)\) に関する代数方程式になります。
これを \(F(s)\) について解いてラプラス逆変換すると、この微分方程式を満たす特殊解 \(f(t)\) が得られます。

この方法では一般解を求めることはできません。
この方法は条件を定めて解くという前提の問題など、一般解を求める必要がないときに役立ちます。

また、この方法ですべての微分方程式を解けるわけではありません。
この方法は主に線形で定数係数な微積分方程式を解くのに使います。
そんな特殊なものが役に立つのかといえば役に立ちます。
微分方程式論で非同次形や連立な微分方程式を解くのは結構骨が折れますが、ラプラス変換を用いた方法だとすごく楽に解けます。

【例題】次の常微分方程式を () 内の初期条件で解いてみましょう。ただし \(y = y(x)\) です。
\[y''-2y'+2y=e^x \quad (y(0)=0,\ y'(0)=0)\]

[解] \(Y(s) = \mathscr{L}[y(x)]\) として両辺をラプラス変換すると
\[\{s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)\}-2\{sY(s)-y(0)\}+2Y(s)=\frac{1}{s-1}\]
初期条件 \(y(0) = 0\), \(y'(0) = 0\) を代入し \(Y(s)\) について解くと
\[Y(s)=\frac{1}{(s-1)(s^2-2s+2)}=\frac{1}{(s-1)(s-1-i)(s-1+i)}\]
これをラプラス逆変換するために留数を求めます。 \(s = 1, 1\pm i\) は 1 位の極なので
\[{\rm Res}[Y(s)e^{sx},1]=\lim_{s\to 1}(s-1)Y(s)e^{sx}=\lim_{s\to 1}\frac{e^{sx}}{s^2-2s+2}=e^x\]
\[{\rm Res}[Y(s)e^{sx},1+i]=\lim_{s\to 1+i}(s-1-i)Y(s)e^{sx}=\lim_{s\to 1+i}\frac{e^{sx}}{(s-1)(s-1+i)}=-\frac{e^xe^{ix}}{2}\]
\[{\rm Res}[Y(s)e^{sx},1-i]=\lim_{s\to 1-i}(s-1+i)Y(s)e^{sx}=\lim_{s\to 1-i}\frac{e^{sx}}{(s-1)(s-1-i)}=-\frac{e^xe^{-ix}}{2}\]
よって \(y(x)\) は
\[\begin{aligned}y(x)&=\mathscr{L}^{-1}[Y(s)]={\rm Res}[Y(s)e^{sx},1]+{\rm Res}[Y(s)e^{sx},1+i]+{\rm Res}[Y(s)e^{sx},1-i]\\&=e^x-\frac{e^xe^{ix}}{2}-\frac{e^xe^{-ix}}{2}=e^x\left(1-\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)=e^x(1-\cos x)\end{aligned}\]


このように、微分方程式の解法を使わずに、ほとんど代数計算だけで特殊解が求まりました。
まあ便利っていえば便利ですよね。
理工学上の問題に現れる微分方程式は初期条件や境界条件のあるものがほとんどです。
なので、応用する側にとってはラプラス変換・逆変換で一気に特殊解を求められればいいようです。

一方、数学的には微分方程式そのものに興味があるので、一般解の求め方のほうが興味深いはずです。
まあこの記事はラプラス変換・逆変換の記事なのでその方法は省略します。
後で常微分方程式の一般解の求め方に関する記事を作りたいです。 (壮大なので無理だと思いますが。)

なお、例題の一般解は
\[y(x)=e^{x}(A\cos x+B\sin x+1) \quad (A, B: 任意定数)\]
です。どうでもいいですけど。
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