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ロコリンの雑記

アニメ大好き社会人のロコリンのブログ。2015年卒(修士)の社会人。学生時代(2010年)から続けてるブログなのでエントリによっては学生ブログと社会人ブログになっています。時系列から察して。
 
 
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ロコリン

Author:ロコリン
2018年6月から会社員。2015年3月まで大学院生でした。
趣味:アニメ/Twitter/ゲーム/ニコ動
今(2015年2月更新):プリキュア/プリパラ/アイカツ/ごちうさ/艦これ

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フーリエ解析 1: フーリエ級数 

最近いろいろやる気がない管理人です。
春休みの有意義な過ごし方は家にこもって勉強か、外に出て人と関わるか、どっちなんでしょうね。
とりあえず忘れないうちに数学を復習しときましょう。

数学の記事とか言いつつ数学的に厳密なことを言える自信はありません。
だから調べ物とかでこの記事を見るのはやめた方がいいです。

あと、数学的に厳密でないことを気持ち悪く思う人もいるかもしれません。
事前に断っておきます。この記事は手抜きさせてもらいます。
1つの記事を書くのに数時間 (場合によっては数日間) かかるのです。適当に書いても。
なので、間違いとかあると思います。
ブログは何度でも修正が可能なので、指摘してもらえれば後で修正します。

フーリエ級数、フーリエ変換などについてまとめます。 (フーリエ変換はやる気が出たらやります。)


§1 フーリエ級数

§1.1 フーリエ級数の定義式

\(f(t)\) を実数 \(t\) に関する周期 \(T\) の周期関数とします。この \(f(t)\) がある条件を満たすとき、 \(f(t)\) は整数倍の周波数の三角関数の総和で表せるそうです。
すなわち、数列 \(a_{n}\), \(b_{n}\) を用いて次式で表せます。これをフーリエ級数といいます。

\[f(t)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\frac{2\pi n}{T}t+b_n\sin\frac{2\pi n}{T}t\right)\]
このときの \(a_{n}\), \(b_{n}\) は次式で求まります。
\[a_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\cos\frac{2\pi n}{T}tdt\]
\[b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\sin\frac{2\pi n}{T}tdt\]

\(f(t)\) とフーリエ級数との間に \(\sim\) というのがありますが、これは近似を表す記号です。
これは \(f(t)\) が不連続関数のとき恒等的に = にならない場合があるからです。
ただし、 \(f(t)\) が連続関数の場合など、恒等的に = になる場合もあるので、適宜使い分けると良いです。

\(f(t)\) とフーリエ級数が = で結ばれる条件は次のいずれかを満たすことです。

  1. 任意の \(t\) について \(f(t)\) は連続関数
  2. \(f(t)\) が \(t = a\) で不連続で、その近傍では連続のとき、
    • \(f(a)\) が存在し、
    • \(\displaystyle\lim_{\epsilon\to 0}\frac{ f(a + \epsilon) + f(a - \epsilon) }{2} = f(a)\)
      (\(t = a\) の両隣の中点が \(f(a)\) である)
    が成立
証明は私には無理です。

\(a_{n}\) と \(b_{n}\) を求める式については、 \(f(t)\) のフーリエ級数の式の両辺を積分するなどして求まりますが、雑多になるので書きません。

高校数学で三角関数の合成というのがあったと思いますが、それを用いれば sin または cos のどちらか一方だけでフーリエ級数を表すことも可能です。
といっても、私はそれを使ったことはありませんが。たぶん sin と cos を分けて求めた後でも書き換え可能でしょう。

§1.2 複素系フーリエ級数

複素解析でオイラーの公式 \(e^{iz} = \cos z + i \sin z\) というのがありました。
それを用いれば、フーリエ級数は次のように書き換えることができます。

\[f(t)\sim\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\exp\left(i\frac{2\pi n}{T}t\right)\]
\(c_{n}\) は次式で求められます。
\[c_n=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\exp\left(-i\frac{2\pi n}{T}t\right)dt\]

§1.3 フーリエ級数の例題

(1) 図に示すような矩形波 (周期 \(T\), 振幅 \(A\)) のフーリエ級数を求めます。

矩形波
式で表すと次のようになります。
\[f(t)=\begin{cases}-A&(-T/2<t<0)\\ 0&(t\in\{0,T/2\})\\A&(0<t<T/2)\end{cases},f(t+nT)=f(t)\]
\(f(t)\) は奇関数 (\(f(-t) = -f(t)\)) です。
\(\cos\omega t\) は偶関数なので、 \(f(t)\cos\omega t\) は奇関数となります。よって \(a_{n}\) は
\[a_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\cos\frac{2\pi n}{T}tdt=0\]
\(\sin\omega t\) は奇関数なので、 \(f(t)\sin\omega t\) は偶関数となります。よって \(b_{n}\) は
\[\begin{aligned}b_n&=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\sin\frac{2\pi n}{T}tdt=\frac{4}{T}\int_0^{T/2}f(t)\sin\frac{2\pi n}{T}tdt\\&=\frac{4}{T}\int_0^{T/2}A\sin\frac{2\pi n}{T}tdt=\frac{4A}{T}\left[-\frac{T}{2\pi n}\cos\frac{2\pi n}{T}t\right]_{t=0}^{t=T/2}\\&=\frac{2A}{n\pi}\left(-\cos n\pi+1\right)=\begin{cases}0&(n=2k)\\\displaystyle{\frac{4A}{n\pi}}&(n=2k-1)\end{cases}\end{aligned}\]
以上より、 \(f(t)\) は次のフーリエ級数で表されます。
\[\begin{aligned}f(t)&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\frac{2\pi n}{T}t+b_n\sin\frac{2\pi n}{T}t\right)\\&=\sum_{n=1}^{\infty}b_{2n-1}\sin\frac{2\pi(2n-1)}{T}t\\&=\frac{4A}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n-1}\sin\frac{2\pi(2n-1)}{T}t\end{aligned}\]

(2) 図に示すようなのこぎり波 (周期 \(T\), 振幅 \(A\)) のフーリエ級数を求めます。

のこぎり波
式で表すと次のようになります。
\[f(t) = A\left(1 - \frac{2t}{T}\right) (0 < t < T), f(t + nT) = f(t)\]
\(f(t)\) は奇関数 (\(f(-t) = -f(t)\)) です。
\(\cos\omega t\) は偶関数なので、 \(f(t)\cos\omega t\) は奇関数となります。よって \(a_{n}\) は
\[a_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\cos\frac{2\pi n}{T}tdt=0\]
\(\sin\omega t\) は奇関数なので、 \(f(t)\sin\omega t\) は偶関数となります。よって \(b_{n}\) は
\[\begin{aligned}b_{n}&=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\sin\frac{2\pi n}{T}tdt=\frac{4}{T}\int_0^{T/2}f(t)\sin\frac{2\pi n}{T}tdt=\frac{4A}{T}\int_0^{T/2}\left(1-\frac{2t}{T}\right)\sin\frac{2\pi n}{T}tdt\\&=\frac{4A}{T}\frac{T}{2\pi n}\left(\left[\left(\frac{2t}{T}-1\right)\cos\frac{2\pi n}{T}t\right]_{t=0}^{t=T/2}-\frac{2}{T}\int_0^{T/2}\cos\frac{2\pi n}{T}tdt\right)\\&=\frac{2A}{\pi n}\left(0-(-1)+\frac{1}{\pi n}\left[\sin\frac{2\pi n}{T}t\right]_{t=0}^{t=T/2}\right)=\frac{2A}{\pi n}\left(1+0\right)=\frac{2A}{\pi n}\end{aligned}\]
以上より、 \(f(t)\) は次のフーリエ級数で表されます。
\[f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\frac{2\pi n}{T}t+b_n\sin\frac{2\pi n}{T}t\right)=\frac{2A}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\sin\frac{2\pi n}{T}t\]

(3) 図に示すような三角波 (周期 \(T\), 振幅 \(A\)) のフーリエ級数を求めます。

三角波
式で表すと次のようになります。
\[f(t) = A \left(1 - \left|\frac{4t}{T}\right|\right) \quad \left(|t| ≤ \frac{T}{2}\right), f(t + nT) = f(t)\]
\(f(t)\) は偶関数 (\(f(-t) = f(t)\)) なので、 \(a_{0}\) は
\[a_0=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)dt=\frac{4}{T}\int_0^{T/2}f(t)dt=\frac{4A}{T}\int_0^{T/2}\left(1-\frac{4t}{T}\right)dt=\frac{4A}{T}\left[t-\frac{2t^2}{T}\right]_{t=0}^{t=T/2}=0\]
\(\cos\omega t\) は偶関数なので、 \(f(t)\cos\omega t\) は偶関数となります。よって \(n \ne 0\) のときの \(a_{n}\) は
\[\begin{aligned}a_n&=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\cos\frac{2\pi n}{T}tdt=\frac{4}{T}\int_0^{T/2}f(t)\cos\frac{2\pi n}{T}tdt=\frac{4A}{T}\int_0^{T/2}\left(1-\frac{4t}{T}\right)\cos\frac{2\pi n}{T}tdt\\&=\frac{4A}{T}\frac{T}{2\pi n}\left(\left[\left(1-\frac{4t}{T}\right)\sin\frac{2\pi n}{T}t\right]_{t=0}^{t=T/2}-\int_0^{T/2}\left(-\frac{4}{T}\right)\sin\frac{2\pi n}{T}tdt\right)\\&=\frac{2A}{\pi n}\left(0+\frac{4}{T}\frac{T}{2\pi n}\left[-\cos\frac{2\pi n}{T}t\right]_{t=0}^{t=T/2}\right)=\frac{4A}{\pi^2n^2}(-\cos\pi n+1)=\begin{cases}0&(n=2k)\\\displaystyle{\frac{8A}{\pi^2n^2}}&(n=2k-1)\end{cases}\end{aligned}\]
\(\sin\omega t\) は奇関数なので、 \(f(t)\sin\omega t\) は奇関数となります。よって \(b_{n}\) は
\[b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\sin\frac{2\pi n}{T}tdt=0\]
以上より、 \(f(t)\) は次のフーリエ級数で表されます。
\[\begin{aligned}f(t)&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\frac{2\pi n}{T}t+b_n\sin\frac{2\pi n}{T}t\right)=\sum_{n=1}^\infty a_{2n-1}\cos\frac{2\pi(2n-1)}{T}t\\&=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n-1)^2}\cos\frac{2\pi(2n-1)}{T}t\end{aligned}\]
まったく関係ないですが、高校生のころ三角波を三角関数と逆三角関数の合成関数で表せることを発見しました。
\[f(t)=A\left(1-\frac{2}{\pi}\cos^{-1}\cos\frac{2\pi t}{T}\right)\]
プログラムとかで使う場合は位相を sin に合わせたこちらをお勧めします。
\[{\rm Triangle}(\theta)=\frac{2}{\pi}\sin^{-1}\sin\theta\]

適宜更新します。

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