ロコリンの雑記

アニメ大好きニートのロコリンのブログ。2015年卒(修士)の社会人。学生時代(2010年)から続けてるブログなのでエントリによっては学生ブログと社会人ブログになっています。時系列から察して。
 
 
このブログについて
ブログ内検索
カテゴリ
プロフィール

ロコリン

Author:ロコリン
2018年5月だけニート(6月から会社員)。2015年3月まで大学院生でした。
趣味:アニメ/Twitter/ゲーム/ニコ動
今(2015年2月更新):プリキュア/プリパラ/アイカツ/ごちうさ/艦これ

外部リンク
Twitter

スポンサーサイト 

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

RLC 直列回路の過渡現象 

久々に微分方程式を解きたくなったので、電気回路の過渡現象を解析します。

1. RLC 直列回路

RLC 直列回路 (抵抗 \(R\)、インダクタンス \(L\) のコイル、静電容量 \(C\) のコンデンサ (キャパシタ) を直列に接続した回路) に交流電圧源 \(v(t)\) をかけたとき、電流 \(i(t)\) が流れたとします。

RLC 直列回路

1.1 回路方程式

キルヒホッフの電圧平衡則より

\[L\frac{di(t)}{dt}+Ri(t)+\frac{1}{C}q(t)=v(t)\]
ここで、電流の定義より
\[i(t) = \frac{dq(t)}{dt}\]
であることに留意すると
\[L\frac{d^{2}q(t)}{dt^{2}}+R\frac{dq(t)}{dt}+\frac{1}{C}q(t)=v(t)\]
各回路素子の係数 \(R\), \(L\), \(C\) が時間変化しない、即ち定数であると仮定すると、これは電荷 \(q(t)\) についての定数係数非同次線形2階常微分方程式になります。 さらに両辺を \(t\) で微分すると電流 \(i(t)\) の微分方程式になります.
\[L\frac{d^{2}i(t)}{dt^{2}}+R\frac{di(t)}{dt}+\frac{1}{C}i(t)=\frac{dv(t)}{dt}\]

1.2 過渡現象の解析

とりあえず、電荷の微分方程式の同次形の解を \(q_{0}(t)\), 電流の同次解を \(i_{0}(t)\) とします。
電荷の式は次のようになります。

\[\left(L\frac{d^{2}}{dt^{2}}+R\frac{d}{dt}+\frac{1}{C}\right)q_{0}(t)=0\]
これの一般解は、補助方程式 \(\displaystyle L\lambda^{2}+R\lambda+\frac{1}{C} = 0\) とおいたとき
\[\lambda = \frac{-R\pm\sqrt{R^{2}-4L/C}}{2L} = -\frac{R}{2L}\pm\sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^{2}-\frac{1}{LC}}\]
となることから、2 個の任意定数を \(c_{1}\)、\(c_{2}\) とおくと、
\[q_{0}(t)=\begin{cases}\displaystyle\exp\left(-\frac{R}{2L}t\right)\left\{c_{1}\exp\left(t\sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^{2}-\frac{1}{LC}}\right)+c_{2}\exp\left(-t\sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^{2}-\frac{1}{LC}}\right)\right\}&,R^{2}>4L/C\\\displaystyle(c_{1}t+c_{2})\exp\left(-\frac{R}{2L}t\right)&,R^{2}=4L/C\\\displaystyle\exp\left(-\frac{R}{2L}t\right)\left\{c_{1}\cos\left(t\sqrt{-\left(\frac{R}{2L}\right)^{2}+\frac{1}{LC}}\right)+c_{2}\sin\left(t\sqrt{-\left(\frac{R}{2L}\right)^{2}+\frac{1}{LC}}\right)\right\}&,R^{2}<4L/C\end{cases}\]
となります。
これを \(t\) で微分すると電流の一般解 \(i_{0}(t)\) が得られます
この \(i_{0}(t)\) が電源投入直後の過渡現象を表す項ですが、 \(R > 0\) のとき十分時間が経つとこの項は減衰してほぼ 0 になります。
(\(R = 0\) のときは電気振動という電流が流れ続けます。力学の単振動に似ています。)

1.3 正弦波交流電源の場合の強制振動電流

次に、非同次のときの特殊解を \(i_{1}(t)\) とします。
電源 \(v(t)\) を角周波数 \(\omega\) 、最大電圧 \(V_{m}\) の正弦波交流とすると、

\[v(t) = V_{m}\sin\omega t\]
ですから、回路方程式を次のようにおきます。
\[L\frac{d^{2}i(t)}{dt^{2}}+R\frac{di(t)}{dt}+\frac{1}{C}i(t)=\frac{d}{dt}V_{m}\sin\omega t=\omega V_{m}\cos\omega t\]
これの特殊解を \(i(t) = i_{1}(t) = a\sin\omega t + b\cos\omega t\) とおくと、
\[\frac{di(t)}{dt} = \omega(a\cos\omega t - b\sin\omega t)\]
\[\frac{d^{2}i(t)}{dt^{2}} = -\omega^{2}(a\sin\omega t + b\cos\omega t)\]
ですから、方程式にこれを代入した上で両辺を \(\omega\) で割ると、
\[\begin{aligned}-\omega^{2}L(a\sin\omega t+b\cos\omega t)+\omega R(a\cos\omega t-b\sin\omega t)+\frac{1}{C}(a\sin\omega t+b\cos\omega t)&=\omega V_{m}\cos\omega t\\\left\{Ra-\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)b\right\}\cos\omega t-\left\{\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)a+Rb\right\}\sin\omega t&=V_{m}\cos\omega t\end{aligned}\]
この恒等式が成立するように \(a\)、\(b\) を定めます。
連立方程式を一気に行列表現します。
\[\begin{bmatrix}R&-\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)\\\omega L-\frac{1}{\omega C}&R\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}V_{m}\\0\end{bmatrix}\]
係数行列が正則な場合だけ考えてクラメルの公式を使うと
\[\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}=\frac{V_{m}}{R^{2}+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^{2}}\begin{bmatrix}R\\-\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)\end{bmatrix}\]
よって特殊解は
\[i_{1}(t)=\frac{V_{m}}{R^{2}+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^{2}}\left\{R\sin\omega t-\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)\cos\omega t\right\}=I_{m}\sin(\omega t-\phi)\]
と求まります。ただし
\[I_{m}=\frac{V_{m}}{Z},Z=\sqrt{R^{2}+X^{2}},X=\omega L-\frac{1}{\omega C},\tan\phi=\frac{X}{R}\]
とおきました。

よって非同次の一般解は同次の一般解と非同次の特殊解の和で表され、

\[i(t)=i_{1}(t)+i_{0}(t)=I_{m}\sin(\omega t-\phi)+i_{0}(t)\]
となります。

1.4 複素計算法による強制振動電流の導出

個人的に特殊解を上記のような方法で求めるのは時間がかかるので好きではありません。
そこで、交流回路の複素計算法を導入します。

数学的に次の恒等式が成立します。 (複素解析におけるオイラーの公式)

\[e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\]
ここで \(i\) は虚数単位で \(i^{2} = -1\) 、 \(e\) は自然対数の底です。
(詳細は記事『逆三角関数まとめ』を参照してください。)
ただし、電気回路では \(i\) という文字は電流の記号として使われているので、虚数単位なのか電流なのか区別がつかなくては困ります。
そこで、電気回路の分野では虚数単位を \(j\) で表します。
こうする場合、先ほどのオイラーの公式は
\[e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta\]
と表せます。

交流回路の複素計算法では、電圧および電流は角周波数 \(\omega\) の正弦波として計算します。
電流の振幅を \(I_{m}\) とすると、電流の瞬間値 \(i(t)\) は

\[i(t) = I_{m}\sin(\omega t-\theta)\]
と表せます。 (\(\theta\) は初期位相)
ここで、これを複素数表現したいと思います。
複素数で表現された電流を複素電流といいますが、これを \(I\) の上にドット . を付けた記号 \(\dot{I}\) で表します。
\[\dot{I} = I_{m}\exp(j(\omega t-\theta))\]
これの虚部を取れば、
\[{\rm Im}(\dot{I}) = I_{m}\sin(\omega t-\theta) = i(t)\]
となります。

抵抗 \(R\) に複素電流 \(\dot{I}\) が流れたときの複素電圧 \(\dot{V}_{R}\) はオームの法則より

\[\dot{V}_{R} = R\dot{I} = \dot{Z}_{R}\dot{I}\]
となります。ここで、 \(\dot{Z}_{R} = R\) は抵抗の複素インピーダンスです。
コンデンサ \(C\) に複素電流 \(\dot{I}\) が流れたときの複素電圧 \(\dot{V}_{C}\) は、
コンデンサの式 \(Q = CV\) と電流の定義 \(\displaystyle I = \frac{dQ}{dt}\) より
\[\dot{V}_{C}=\frac{\dot{Q}}{C}=\frac{1}{C}\int \dot{I}dt=\frac{1}{C}\int I_{m}e^{j(\omega t-\theta)}dt=\frac{1}{j\omega C}I_{m}e^{j(\omega t-\theta)}=\dot{Z}_{C}\dot{I}\]
となります。積分定数は省略しました。ここで、 \(\displaystyle\dot{Z}_{C} = \frac{1}{j\omega C}\) はコンデンサの複素インピーダンスです。
コイル \(L\) に複素電流 \(\dot{I}\) が流れたときの複素電圧 \(\dot{V}_{L}\) は、
ファラデーの法則 \(\displaystyle V = L\frac{dI}{dt}\) より
\[\dot{V}_{L}=L\frac{d\dot{I}}{dt}=L\frac{d}{dt}\left(I_{m}e^{j(\omega t-\theta)}\right)=j\omega LI_{m}e^{j(\omega t-\theta)}=\dot{Z}_{L}\dot{I}\]
となります。ここで、 \(\displaystyle\dot{Z}_{L} = j\omega L\) はコイルの複素インピーダンスです。

これらの複素インピーダンスという物理量を使うことで、抵抗、コンデンサ、コイルからなる直並列回路は単なる抵抗の回路網のように計算することができます。
今回の RLC 直列回路の場合、回路全体のインピーダンス \(\dot{Z}\) は

\[\displaystyle\dot{Z} = \dot{Z}_{R} + \dot{Z}_{L} + \dot{Z}_{C} = R + j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right) = Z\exp(j\phi)\]
となります。ここで、
\[Z=\sqrt{R^{2}+X^{2}}\]
\[\displaystyle X=\omega L-\frac{1}{\omega C}\]
\[\tan\phi=\frac{X}{R}\]
とおきました。特に \(\phi\) は電圧と電流の位相差、\(X\) は合成リアクタンスと呼ばれています。
よって複素電圧 \(\dot{V}\) は、
\[\dot{V} = \dot{Z}\dot{I} = Z\exp(j\phi) I_{m}\exp(j(\omega t-\theta))=V_{m}\exp(j(\omega t+\phi-\theta))\]
となります。ここで \(V_{m} = ZI_{m}\) は電圧の振幅です。

複素計算法を用いれば、正弦波交流の微積分計算が代数計算に帰着されます。

スポンサーサイト
コメント















 管理者にだけ表示を許可する

トラックバック
 
http://rexpit.blog29.fc2.com/tb.php/36-2d37457c
最新記事
最新コメント
FC2カウンタ
欲しい
最近買ったもの
Amazon 検索
 
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。