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ロコリンの雑記

アニメ大好き社会人のロコリンのブログ。2015年卒(修士)の社会人。学生時代(2010年)から続けてるブログなのでエントリによっては学生ブログと社会人ブログになっています。時系列から察して。
 
 
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ロコリン

Author:ロコリン
2018年6月から会社員。2015年3月まで大学院生でした。
趣味:アニメ/Twitter/ゲーム/ニコ動
今(2015年2月更新):プリキュア/プリパラ/アイカツ/ごちうさ/艦これ

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逆三角関数まとめ 

逆三角関数とは、三角関数の逆関数のことです。 これについては複素関数論を知っていれば何のことはないでしょう。 しかし導出に数十秒時間がかかるものがあるので、ここにメモします。


1. 定義

この記事で使う定数や変数などの文字を定義します。(慣用的に用いられているので知ってるなら飛ばしてください。)
虚数単位を \(i=\sqrt{-1}\) とし、方程式 \(i^{2}+1 = 0\) を満たすもの (解) の一方とします。
自然対数の底 \(e\) を

\[e=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\]
と定義します。
円周率 \(\pi=2\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^{2}}dx\) を、単位円を直線で 2 等分してできる扇形の弧の長さと定義します。
変数は、実数 \(x, y \in \mathbb{R}\) を用いて複素数 \(z := x+iy \in \mathbb{C}\) とします。
実数 \(r, \theta \in \mathbb{R}\) を用いる場合、
\[x = r\cos\theta\]
\[y = r\sin\theta\]
を満たすものとします。
すると、上の \(z\) は \(z = re^{i\theta}\) とも表せます。
\(n, m \in \mathbb{Z}\) は任意の整数とします。
このとき、絶対値 \(|z|\) 、偏角 \(\mathrm{arg}z\) 、偏角の代表 \(\mathrm{Arg}z\) を
\[\left|z\right|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r\]
\[\mathrm{arg}z = \theta+2n\pi = \mathrm{Arg}z+2n\pi\]
\[-\pi < \mathrm{Arg}z \le \pi\]
と定義します。

\(w\in\mathbb{C}\) は任意の複素関数 \(f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\) の従属変数で、実2変数関数 \(u, v:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) を用いて

\[w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\]
というように表します。

\(z\) の \(n\) 乗根 \(\displaystyle w=z^{\frac{1}{n}}\) を次のように定義します。 ただし、これは \(n\) 価の多価関数 (一意でない) です。

\[w^{n}=z\]
\[w=z^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{\left|z\right|}\exp\left(i\frac{\arg z}{n}\right)=\sqrt[n]{\left|z\right|}\exp\left(i\frac{\mathrm{Arg}z+2m\pi}{n}\right)\]
\[(0\leq m<n)\]
ここで、\(\displaystyle\sqrt[n]{\left|z\right|}\) は実数における正の \(n\) 乗根であり、1価関数です。

指数関数を次のように定義します。

\[e^{z}=\exp z=e^{x}(\cos y+i\sin y)\]

各三角関数を次のように定義します。

\[\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\]
\[\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\]
\[\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}\]

各双曲線関数を次のように定義します。

\[\cosh z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}\]
\[\sinh z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}\]
\[\tanh z=\frac{\sinh z}{\cosh z}\]

対数関数を指数関数の逆関数として次のように定義します。 ただし、これは多価関数 (一意でない) です。

\[\log z=\mathrm{Log}\left|z\right|+i\arg z=\mathrm{Log}\left|z\right|+i\left(\mathrm{Arg}z+2n\pi\right)\]
ここで、 \(\mathrm{Log}|z|\) は実関数の対数関数で、1価関数です。

複素数 \(p\), \(q\) を使った指数 \(p^{q}\) を

\[p^{q}=\exp\left(q\log p\right)=\exp\left\{q\left(\mathrm{Log}\left|p\right|+i\arg p\right)\right\}=\exp\left[q\left\{\mathrm{Log}\left|p\right|+i\left(\mathrm{Arg}p+2n\pi\right)\right\}\right]\]
とします。

ここまでが定義です。 (定義が長いッスねw)

2. 逆三角関数

ようやく本題の逆三角関数です。 導出方法は、 \(w\) を \(z\) の逆三角関数として \(z\) について解くと、 \(z\) は \(w\) の三角関数となります。 これを今度は \(e^{iw}\) について解きます。 これは \(e^{iw}\) についての2次方程式です。 あとは \(w\) について解くだけです。 これは両辺の対数をとり、更に両辺を \(i\) で割るだけです。

\[\cos^{-1}z=\frac{1}{i}\log\left\{z+(z^{2}-1)^{\frac{1}{2}}\right\}=\frac{1}{i}\log\left\{z+i(1-z^{2})^{\frac{1}{2}}\right\}\]
\[\sin^{-1}z=\frac{1}{i}\log\left\{iz+(1-z^{2})^{\frac{1}{2}}\right\}\]
\[\tan^{-1}z=\frac{1}{2i}\log\frac{i-z}{i+z}=\frac{i}{2}\log\frac{i+z}{i-z}\]
ついでに逆双曲線関数も示します。
\[\cosh^{-1}z=\log\left\{z+(z^{2}-1)^{\frac{1}{2}}\right\}\]
\[\sinh^{-1}z=\log\left\{z+(z^{2}+1)^{\frac{1}{2}}\right\}\]
\[\tanh^{-1}z=\frac{1}{2}\log\frac{1+z}{1-z}\]
逆双曲線関数は実関数としても同様に表すことができます。 しかし、ここでは複素関数として扱っているので、1/2乗は2価関数であることに注意してください。 実関数として扱う場合は、1/2乗の外に±を付け加えてください。

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