FC2ブログ
 

ロコリンの雑記

アニメ大好き社会人のロコリンのブログ。2015年卒(修士)の社会人。学生時代(2010年)から続けてるブログなのでエントリによっては学生ブログと社会人ブログになっています。時系列から察して。
 
 
このブログについて
ブログ内検索
カテゴリ
プロフィール

ロコリン

Author:ロコリン
2018年6月から会社員。2015年3月まで大学院生でした。
趣味:アニメ/Twitter/ゲーム/ニコ動
今(2015年2月更新):プリキュア/プリパラ/アイカツ/ごちうさ/艦これ

外部リンク
Twitter

スポンサーサイト 

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

交流の実効値 

このブログは、学術的厳密性とか全然配慮していませんよ。
ただ久しぶりに積分したかったのと、TEXで遊びたかっただけなんで。

私は物理学の電磁気学はすごく苦手な方です。(2010 年当時の意見)
でも、情報工学と電気工学は深い関係があると私は思っています。
なので、食わず嫌いしないで、遊び半分で電磁気学に触れたいと思います。


交流電源って、例えば正弦波交流電圧源でも、抵抗に電気を流すと発熱しますよね?
正弦波の平均は、周期分であれば0です。
なのに、発熱するってことは、なんか不思議ですよね。

ジュールによれば、電圧V、電流Iのときの電力 (仕事率) P

\[P = VI\]
だそうです。これくらいは中学生でも知ってるでしょう。
交流抵抗回路
この回路では、オームの法則 (キルヒホッフの電圧平衡の法則) が適用でき、電圧v(t)、電圧i(t)、抵抗Rは次の関係を満たします。
\[v(t) = Ri(t)\]
ここでは、電圧が角周波数ω、最大電圧Vmの正弦波交流であるとします。即ち、
\[v(t) = V_{m}\sin(\omega t)\]
です。このとき、電流の最大値 \(I_{m} = V_{m} / R\) とすると、電流の位相は電圧と同じになり、次のようになります。
\[i(t) = I_{m}\sin(\omega t)\]
よって、このときの電力p(t)は、先ほどの式より次のように求まります。
\[p(t) = v(t)i(t) = V_{m}I_{m}\sin^{2}(\omega t)\]
ここで、周期Tと周波数fは角振動数ωと次のような関係を持ちます。
\[f=\frac{1}{T}\]
\[\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f\]

以上を踏まえ、交流の実効値を定義しましょう。
交流の電圧、電流の実効値とは、交流の電力の平均値と等しい電力を与える直流の電圧、電流のことです。
上の式の平均値を求める場合、周期関数だから、1周期分だけ調べればよさそうです。
ということで、上の仕事率の式を0からTまで積分してTで割ります。

\[P_{e}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}p(t)\mathrm{d}t=\frac{V_{m}I_{m}}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}\left(\frac{2\pi}{T}t\right)\mathrm{d}t=\frac{V_{m}I_{m}}{2}=\frac{RI_{m}^{2}}{2}=\frac{V_{m}^{2}}{2R}\]
で、電圧の実効値Ve、電流の実効値Ieとすると、定義より電力は次のようになります。
\[P_{e}=V_{e}I_{e}=RI_{e}^{2}=\frac{V_{e}^{2}}{R}\]
これと上式より
\[V_{e}=\frac{V_{m}}{\sqrt{2}}\]
\[I_{e}=\frac{I_{m}}{\sqrt{2}}\]
と求まります。

私がこの記事を書いたのは、本当にただこの積分をしたかったからというだけのことなのです。
まあ、こんなことで記事を書くなんてあまりにもどうでも良過ぎると思います。
ただ、LATEXで暇つぶしに書いた記事の数式が美しく見えたので。
そう、本当の目的はこれです。
ということで、PDFファイルを見てください。
交流の実効値に関するPDFファイル (2010年9月28日投稿の間違ったファイル)
交流の実効値に関するPDFファイル (2010年9月30日投稿の訂正版)
どうですか。素人の私ですが、LATEXで描けばまるでプロのような美しい数式が記述できます。
私がLATEXを使い始めたのは2006年の夏休みでした。
これまでに、高専の物理の先生と、大学の数学の先生がTEXという言葉を小出しにしていましたが、使っている生徒はどれくらいいるんでしょうか。
マジお勧めなんですけど。

スポンサーサイト
コメント















 管理者にだけ表示を許可する

トラックバック
 
http://rexpit.blog29.fc2.com/tb.php/26-c92a870f
最新記事
最新コメント
FC2カウンタ
欲しい
最近買ったもの
Amazon 検索
 
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。