ロコリンの雑記

アニメ大好き社会人のロコリンのブログ。2015年卒(修士)の社会人。学生時代(2010年)から続けてるブログなのでエントリによっては学生ブログと社会人ブログになっています。時系列から察して。
 
 
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ロコリン

Author:ロコリン
2018年6月から会社員。2015年3月まで大学院生でした。
趣味:アニメ/Twitter/ゲーム/ニコ動
今(2015年2月更新):プリキュア/プリパラ/アイカツ/ごちうさ/艦これ

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頻出シチュエーションメモ 

問題を解いていると、何度も現れるシチュエーションってあります。そのつど自分でやり方を導出するものですが、さすがに何度も同じものを導出していると時間が無駄な気もします。なので、よく現れるもので、導出に少し時間がかかるものについてはここにメモしたいと思います。あくまでメモであって、受験生に暗記してもらうためのものではありません。というか、暗記したくないし導出の手間も省きたいからメモするのです。


二重根号

二重根号が現れたら、まず外せるかどうか調べ、外せるなら外します。それをいちいち調べるのは面倒なので、こういうのを作りました。

\[\sqrt{A\pm2\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-4B}}{2}}\pm\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-4B}}{2}} \quad (複号同順)\]
ここで、\(A^{2}-4B\) が有理数の平方数 (2 乗した数) なら二重根号を外せます。 (例:\(\displaystyle\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}\))

導出は

\[\sqrt{A\pm2\sqrt{B}}=\sqrt{a}\pm\sqrt{b}\]
とおいて、連立方程式
\[\left\{\begin{aligned}a+b&=A\\ ab&=B\end{aligned}\right.\]
を \(a\), \(b\) について解くと求まるので、暗記する必要はありません。しかし、導出にちょっとだけ時間がかかるからこうしてメモしています。

点と直線の距離

3 次元実ベクトル空間 \(\mathbb{R}^{3}\) 上の 2 点 \(\boldsymbol{P}_{1}\)、\(\boldsymbol{P}_{2}\) を通る直線と、点 \(\boldsymbol{Q}\) との距離 \(d\) は

\[d=\frac{|(\boldsymbol{P}_2-\boldsymbol{P}_1)\times(\boldsymbol{Q}-\boldsymbol{P}_1)|}{|\boldsymbol{P}_2-\boldsymbol{P}_1|}\]

導出は、線分 \(\boldsymbol{P}_{1}\boldsymbol{P}_{2}\) と線分 \(\boldsymbol{P}_{1}\boldsymbol{Q}\) のなす角度 \(\theta\) としたとき、

\[d=|\boldsymbol{Q}-\boldsymbol{P}_{1}|\sin\theta\]
であることと、\(\boldsymbol{P}_{2}-\boldsymbol{P}_{1}\) と \(\boldsymbol{Q}-\boldsymbol{P}_{1}\) の外積のノルムが
\[|(\boldsymbol{P}_{2}-\boldsymbol{P}_{1})\times(\boldsymbol{Q}-\boldsymbol{P}_{1})|=|\boldsymbol{P}_{2}-\boldsymbol{P}_{1}||\boldsymbol{Q}-\boldsymbol{P}_{1}|\sin\theta\]
であることから求まります。

まだまだ書きたいことはありますが今日はもう寝ます。

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