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ロコリンの雑記

アニメ大好き社会人のロコリンのブログ。2015年卒(修士)の社会人。学生時代(2010年)から続けてるブログなのでエントリによっては学生ブログと社会人ブログになっています。時系列から察して。
 
 
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ロコリン

Author:ロコリン
2018年6月から会社員。2015年3月まで大学院生でした。
趣味:アニメ/Twitter/ゲーム/ニコ動
今(2015年2月更新):プリキュア/プリパラ/アイカツ/ごちうさ/艦これ

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4元数の乗法逆元って簡単に求まるんだねww (3次元の回転も触れる) 

昔 (2011年),独学 (Wikipedia) で4元数について触れてみたのですが,除算を定義するために乗法逆元を求めようとして,挫折しました。当時やった方法は,複素数みたいに逆数を有理化する方法を取ろうとしたのですが,複雑すぎてできませんでした。

しかし,今日 (2013年7月3日) 授業で 3D の回転を表現するために4元数について軽く触れ,昔の疑問があっという間に解決してしまいましたww

複素数の逆元

4元数の前に複素数をおさらいします。

\(i^{2} = -1\) となる \(i\) を導入して,\(x, y \in \mathbb{R}\) を用いて複素数 \(z \in \mathbb{C}\) を次のように定義できます。

\[z = x+iy\]

これの共役複素数 \(\overline{z}\) を次のように定義します。

\[\overline{z} = x-iy\]

\(z\) のノルム \(\left|z\right|\) を次のように定義します。

\[\left|z\right| = \sqrt{x^{2}+y^{2}}\]

これらから次式が求まります。(証明略。)

\[z\overline{z} = \overline{z}z = \left|z\right|^{2}\]
\[\therefore\ z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{\left|z\right|^{2}}\]

4元数の逆元

複素数の次は4元数です(3元数は糞だからイラネ)。次のような \(i, j, k\) を定義します。

\[i^{2} = j^{2} = k^{2} = -1\]
\[ij = k, jk = i, ki = j\]

このような \(i, j, k\) は次のような性質を持ち,乗算に関して可換ではありません。(証明は自分でやれ。)

\[ji = -ij, kj = -jk, ik = -ki, ijk = -1\]

これらの \(i, j, k\) を用いて,4元数 \(q \in \mathbb{H}\) を次のように定義します。(\(w,x,y,z \in \mathbb{R}\))

\[q = w+ix+jy+kz\]

共役4元数 \(\overline{q}\) を次のように定義します。

\[\overline{q} = w-ix-jy-kz\]

\(q\) のノルム \(\left|q\right|\) を次のように定義します。

\[\left|q\right| = \sqrt{w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}\]

これらから次式が求まります。(証明略。)

\[q\overline{q} = \overline{q}q = \left|q\right|^{2}\]
\[\therefore\ q^{-1} = \frac{1}{q} = \frac{\overline{q}}{\left|q\right|^{2}}\]

へぇ。

2次元 (複素数) の回転

ついでなので回転についてもメモします。

2次元の点 \(P(x,y)\) を原点中心に角度 \(\theta\) 回転した点を \(P'(x',y')\) とします。\(P\) を複素数 \(p = x+iy\),\(P'\) を \(p' = x'+iy'\) に対応させ,次の乗算で2次元の回転を表せます。

\[p' = zp\]

ここで

\[z = e^{i\theta} = \cos\theta+i\sin\theta\]

3次元 (4元数) の回転

3次元の回転を表すのに4元数が使えます。(理由は知りたきゃググれ。)

3次元の点 \(P(x,y,z)\) を回転した点を \(P'(x',y',z')\) とします。\(P\) を4元数 \(p = w+ix+jy+kz\),\(P'\) を \(p' = w'+ix'+jy'+kz'\) に対応させます。\(w, w'\) は任意の実数ですが,\(w = w' = 0\) とすると計算が楽です。次の乗算で3次元の回転を表せます。

\[p' = qpq^{-1}\]

ここで

\[q = \cos\frac{\theta}{2}+(ia+jb+kc)\sin\frac{\theta}{2}\]
\[a^{2}+b^{2}+c^{2} = 1\]

\(\boldsymbol{v} = (a,b,c)\) は回転軸で,\(\theta\) は回転角です。なお,\(\left|q\right|^{2} = 1\) なので \(q^{-1} = \overline{q}\) になります。

思ったこと

独学するより授業で習ったほうが早いのウケるww でも社会に出たら授業なんて受けられないんですよね…(◞‸◟)

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